在矩阵代数中，为了简化矩阵运算并发现不同矩阵之间的联系，我们引入矩阵的初等变换（elementary operation）的概念，它是和矩阵乘法的意义直接相连的。初等变换包括初等行变换和初等列变换，每一种初等变换对应了一种初等矩阵（elementary matrix），当一个初等矩阵左（右）乘一个同阶方阵时，它的意义就是对这个方阵作初等矩阵对应的初等行（列）变换。
目录
1 初等矩阵
1.1 第一类初等矩阵
1.2 第二类初等矩阵
1.3 第三类初等变换
2 矩阵的等价
3 上下节
4 参考资料
初等矩阵[]
以下总设在矩阵集合
P
n
×
n
{\displaystyle \mathbb{P}^{n \times n}}
上讨论，
A
∈
P
n
×
n
{\displaystyle A \in \mathbb{P}^{n \times n}}
。一个初等行（列）变换对应的初等矩阵，可以验证，就是将同阶单位阵作相应的初等行（列）变换。此外，这三种初等矩阵都是可逆的，它的逆也对应着相应的逆变换，逆变换就是让矩阵回到施加初等变换后的原来状态所作的变换。
第一类初等矩阵[]
对
A
{\displaystyle A}
的初等变换
1
{\displaystyle 1}
：用一个数域
P
{\displaystyle \mathbb{P}}
上的非零数
k
{\displaystyle k}
乘以
A
{\displaystyle A}
的第
l
{\displaystyle l}
行（列），变换记作
[
l
(
k
)
]
{\displaystyle [l(k)]}
（
{
l
(
k
)
}
{\displaystyle \{ l(k) \}}
），它所对应的初等矩阵记为
M
n
(
l
)
(
k
)
{\displaystyle M_n^{(l)} (k)}
，即
M
n
(
l
)
(
k
)
=
(
1
⋱
1
k
1
⋱
1
)
⋯
l
{\displaystyle M_n^{(l)} (k) = \begin{pmatrix}
1 \\
& \ddots \\
&& 1 \\
&&& k \\
&&&& 1 \\
&&&&& \ddots \\
&&&&&& 1 \\
\end{pmatrix} \cdots l}
这一类初等矩阵的逆
(
M
n
(
l
)
(
k
)
)
−
1
=
M
n
(
l
)
(
1
k
)
{\displaystyle (M_n^{(l)} (k))^{-1} = M_n^{(l)} (\dfrac{1}{k})}
。
可以发现，这一类初等变换对行和列的初等矩阵是一样的，后面的两种也有这个特点，初等变换对行还是列作用从初等矩阵中是反映不出来的，它是通过左还是右乘一个矩阵反映的，左乘作用于行，右乘作用于列，即“左行右列”。
第二类初等矩阵[]
对
A
{\displaystyle A}
的初等变换
2
{\displaystyle 2}
：将
A
{\displaystyle A}
的第
s
{\displaystyle s}
行（列）的
k
{\displaystyle k}
倍加到第
t
{\displaystyle t}
（
s
≠
t
{\displaystyle s\ne t}
）行（列）上，记为
[
t
+
s
(
k
)
]
{\displaystyle [ t + s(k)]}
（
{
t
+
s
(
k
)
}
{\displaystyle \{ t + s(k) \}}
），其对应的初等矩阵是
C
n
(
s
,
t
)
(
k
)
{\displaystyle C_n^{(s,t)} (k)}
，即
C
n
(
s
,
t
)
(
k
)
=
(
1
⋱
1
⋯
k
⋱
⋮
1
⋱
1
)
⋯
t
⋯
s
{\displaystyle C_n^{(s,t)} (k) = \begin{pmatrix}
1 \\
& \ddots \\
&& 1 & \cdots & k \\
&&& \ddots & \vdots \\
&&&& 1 \\
&&&&& \ddots \\
&&&&&& 1 \\
\end{pmatrix} \begin{matrix} \\\\ \cdots & t \\\\ \cdots & s \\\\\\ \end{matrix}}
这一类初等矩阵的逆
(
C
n
(
s
,
t
)
(
k
)
)
−
1
=
C
n
(
s
,
t
)
(
−
k
)
{\displaystyle (C_n^{(s,t)} (k))^{-1} = C_n^{(s,t)} (-k)}
。
第三类初等变换[]
对
A
{\displaystyle A}
的初等变换
3
{\displaystyle 3}
：将
A
{\displaystyle A}
的第
s
{\displaystyle s}
行（列）与第
t
{\displaystyle t}
行（列）交换，记为
[
s
,
t
]
{\displaystyle [s, t]}
（
{
s
,
t
}
{\displaystyle \{ s, t \}}
），其对应的初等矩阵是
P
n
(
s
,
t
)
{\displaystyle P_n^{(s,t)}}
，即
P
n
(
s
,
t
)
=
(
1
⋱
0
⋯
1
⋮
⋱
⋮
1
⋯
0
⋱
1
)
⋯
t
⋯
s
{\displaystyle P_n^{(s,t)} = \begin{pmatrix}
1 \\
& \ddots \\
&& 0 & \cdots & 1 \\
&& \vdots & \ddots & \vdots \\
&& 1 & \cdots & 0 \\
&&&&& \ddots \\
&&&&&& 1 \\
\end{pmatrix} \begin{matrix} \\\\ \cdots & t \\\\ \cdots & s \\\\\\ \end{matrix}}
(
P
n
(
s
,
t
)
)
−
1
=
P
n
(
s
,
t
)
{\displaystyle (P_n^{(s,t)})^{-1} = P_n^{(s,t)}}
。
矩阵的等价[]
设
A
,
B
∈
P
m
×
n
{\displaystyle A, B \in \mathbb{P}^{m \times n}}
，称
A
{\displaystyle A}
与
B
{\displaystyle B}
等价，记作
A
∼
B
{\displaystyle A \sim B}
，如果
A
{\displaystyle A}
能经过有限次初等变换化为
B
{\displaystyle B}
，即存在一系列初等矩阵
P
1
,
P
2
,
⋯
,
P
s
∈
P
m
×
m
{\displaystyle P_1, P_2, \cdots, P_s \in \mathbb{P}^{m \times m}}
以及
Q
1
,
Q
2
,
⋯
,
Q
t
∈
P
n
×
n
{\displaystyle Q_1, Q_2, \cdots, Q_t \in \mathbb{P}^{n \times n}}
，使得
B
=
P
s
⋯
P
2
P
1
A
Q
1
Q
2
⋯
Q
t
.
{\displaystyle B = P_s \cdots P_2 P_1 A Q_1 Q_2 \cdots Q_t.}
易知矩阵的等价满足如下三条性质，因此是等价关系。
自反性，
A
∼
A
;
{\displaystyle A \sim A;}
对称性，
A
∼
B
⇒
B
∼
A
;
{\displaystyle A \sim B \Rightarrow B \sim A;}
传递性，
A
∼
B
,
B
∼
C
⇒
A
∼
C
.
{\displaystyle A \sim B, B \sim C \Rightarrow A \sim C.}
上下节[]
上一节：对角矩阵
下一节：等价标准型
参考资料郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
线性代数（学科代码：1102110，GB/T 13745—2009）
矩阵
矩阵的转置 ▪ 矩阵的逆 ▪ 对角矩阵 ▪ 初等矩阵 ▪ 等价标准型 ▪ 分块矩阵 ▪ 伴随矩阵 ▪ 酉矩阵（正交矩阵） ▪ Hermite 矩阵（实对称矩阵） ▪ 正规矩阵（实正规矩阵） ▪ 幂等矩阵 ▪ 幂零矩阵 ▪ 对合矩阵 ▪ 秩一矩阵 >>另参见数值分析<<
行列式
Vandermonde 行列式 ▪ 行列式的展开 ▪ Laplace 展开 ▪ 三角行列式 ▪ 三对角行列式 ▪ 行列式的计算 ▪ 析因子法
向量组理论
向量组 ▪ 替换定理 ▪ 矩阵的秩 ▪ 矩阵的迹
线性方程组
Cramer 法则 ▪ 基础解系（解的结构）>>另参见数值分析<<
线性空间和内积空间
线性空间的维数和基底 ▪ 线性空间的坐标变换 ▪ 线性空间的同构 ▪ 线性子空间 ▪ 线性空间的直和 ▪ 维数公式 ▪ 线性空间上的线性函数 ▪ 双线性函数 ▪ 对称双线性度量空间 ▪ 正交补空间 ▪ 内积 ▪ Euclid 空间 ▪ 向量到子空间的距离 ▪ 最小二乘法 ▪ Gram-Schmidt 正交化
线性变换
线性映射 ▪ 线性变换 ▪ 线性变换的运算 ▪ 自同构变换 ▪ 线性变换的特征值和特征向量 ▪ 特征子空间 ▪ 特征多项式 ▪ 零化多项式 ▪ 最小多项式 ▪ 关联矩阵的特征根 ▪ 线性空间的直和分解 ▪ 幂等线性变换 ▪ 正交变换 ▪ 正定矩阵 ▪ 半正定矩阵
矩阵标准型
相似标准型 ▪ λ-矩阵 ▪ 数字矩阵的特征矩阵 ▪ Frobenius 标准形 ▪ Jacobson 标准形 ▪ Jordan 标准形
二次型理论
二次型（实二次型） ▪ 二次型的化简 ▪ 正定二次型 ▪ 一对实二次型同时化简
所在位置：数学（110）→ 代数学（11021）→ 线性代数（1102110）